Родился 8 февраля 1915 года в поселке Риддель Семипалатинского района Восточно-Казахстанской области. С 1917 года жил с родителями в г. Батуми. В 1933 году окончил механическое отделение Батумского Индустриального Техникума, а в 1934 году поступил в Горный Институт Ленинграда. Закончил его с отличием в 1940 году. Тема его дипломной работы входила в проект разработки технологии обогащения кобальта на комбинате «Североникель» (г. Мончегорск Мурманской области), туда же Борис Григорьевич был распределен после учёбы на работу.
Когда началась война, он проработал на «Североникеле» чуть больше года. С первого дня войны Мончегорск подвергался ежедневной бомбежке. Бомбардировщики прилетали с базы, находящейся на территории Норвегии. Молодые специалисты, в том числе Борис Григорьевич, пытались записаться добровольцами на фронт, но представитель НКВД объявил приказ о брони всем специалистам, работающим на «Североникеле».
Еще до начала войны Игнатьев познакомился с Лизой Макаровой, которой в это время было 20 лет, она работала в отделе подготовки кадров «Североникеля». Борис Григорьевич сделал ей предложение, и она его приняла. В это время большинство государственных учреждений и предприятий срочно эвакуировали. Игнатьев оформил Лизу как свою жену в команду специалистов, сопровождающих оборудование завода морским путем в г. Норильск.
В Норильске Борис Григорьевич участвовал в подготовке к пуску плавильного цеха большого завода, его пустили в марте 1942, что позволило с начала навигации направить на другие заводы большое количество никеля. В августе 1942 года стало ясно, что немцам не удастся захватить Кольский полуостров и часть специалистов с оборудованием были вызваны обратно в Мончегорск, на комбинат «Североникель». Там Борис Григорьевич работал с августа 1942 по 1948 год в должности начальника электролизного отделения плавильного цеха, затем старшим инженером техотдела и заместителем начальника кобальтового цеха, а потом — начальником техотдела.
После окончания войны, в Москве начали подбирать специалистов для развития атомной промышленности. Были просмотрены все отчеты по новым технологиям. Борис Григорьевич был вызван в столицу. Его направили на работу в г. Электросталь Московской области, там создавался один из первых центров по атомной промышленности. С апреля 1948 года по сентябрь 1949 Игнатьев работал технологом специального цеха, а в 1949 ему предложили работу в г. Новосибирске. После эвакуации многочисленных заводов из Украины и с запада России часть из них осталась в Новосибирске и после войны. Специалисты в Новосибирске были молодыми, увлеченными своей работой, между ними были хорошие дружеские отношения, которые остались таковыми на многие годы. За работу в Электростали и Новосибирске Борис Григорьевич получил два Ордена Трудового Красного Знамени.
Когда завод в Новосибирске был построен, Игнатьев решил продолжить заниматься наукой. И в 1955 году его послали в засекреченный НИИ Средмаша в г. Подольске Московской области.
Молодой ученый защитил кандидатскую диссертацию. Занимаясь новыми сплавами, он возглавил лабораторию НПО «ЛУЧ». Ему удалось собрать в отдел первые институтские технологические лаборатории и организовать их успешную работу. Каждая из созданных им лабораторий имела свое лицо. Борис Григорьевич стремился решать стоящие перед отделом задачи комплексно, но самое главное, что Игнатьев удивительно точно определил возможности технологических процессов, которые институт выбрал в качестве приоритетных. Он понимал, что институт растет и развивается, что в этом живом организме неминуемы структурные и другие перемены. И, будучи яркой фигурой не по должности, а по своей сути, никогда переменам не препятствовал, если они шли на пользу.
«Игнатьев обладал удивительной интуицией и природным умом, что, полагаю, просто необходимо для исследователя. Думаю, это, а также громадный опыт, позволяли ему выбирать оптимальные решения при создании технологических процессов и цепочек»,- вспоминал директор НПО «Луч» И.И. Федик.
Игнатьев Борис Григорьевич был награжден орденами Трудового Красного Знамени (1949, 1954), «Знак Почета» (1960); медалями «За Оборону Советского Заполярья» (1944), «За доблестный труд в Великой Отечественной войне» (1945), «За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина (1970), «30 лет победы в Великой Отечественной Войне (1975); званием заслуженный изобретатель РСФСР (1978).
В 1978 году после продолжительной болезни Борис Григорьевич Игнатьев скончался и был похоронен на Подольском кладбище. На похоронах присутствовало несколько тысяч человек. Родные, друзья, коллеги, ученики. Были представители администрации города, представители городов и предприятий, где он работал, в том числе из Норильска, Новосибирска, Мончегорска, представители Академии наук и различных институтов.